Motivation

비대칭도과 비대칭도의 통계적 측정오차

핵물리, 입자물리에서는 어떤 물리현상의 비대칭도를 측정하는 경우가 많다. 보통은 입자검출기에서 검출되는 입자의 운동량의 방향에 따라 왼쪽(left)과 오른쪽(right)으로 구분하곤 한다. 예를 들면 양성자가 탄소-12 핵과 강한 상호작용에 의해 탄성(혹은 비탄성) 산란되는 경우가 있다. 강한 상호작용은 산란 방향에 치우침이 없으나, 양성자의 스핀을 고려하면 전자기적 상호작용에 의해 비대칭적인 산란 분포를 보인다. 검출기의 좌측에서 검출된 입자의 개수를 $L$, 우측에서 검출된 입자의 개수를 $R$이라 하자. 이때 비대칭의 정도인 비대칭도asymmetry $\varepsilon$을

와 같이 정의하자. 이 $\varepsilon$의 통계적 측정오차가 궁금하다. $\varepsilon$은 $L$과 $R$에 의해 결정되므로, 두 변수의 통계적 오차 $dL$, $dR$이 각각 $L$, $R$보다 충분히 작다면 오차 전파error propagation를 적용할 수 있을 것 같다. 그리고 양성자-탄소 산란은 어느 정도 큰 산란 각도에서 충분히 작은 산란단면적을 가지며, 각각의 산란 사건이 다른 산란 사건에 영향을 받지 않는 독립 사건이라고 본다면 왠지 푸아송Poisson 통계를 사용하여 $\text{Var}(L)=L$, $\text{Var}(R)=R$이라고 할 수 있을 것 같다. 이때 표준적인 오차 전파를 적용하면

이다. $L$과 $R$의 측정이 독립이라고 가정하여 공분산 항은 없다. 편미분을 계산하면

이고, $(dL)^2=L$, $(dR)^2 = R$이므로,

로 최종 결과를 얻을 수 있다.

의문: $L$과 $R$은 독립인가

여기서 나는 어떤 생각이 들었냐면, 정말로 $L$과 $R$이 독립이고 공분산 항이 없느냐는 것이다. 예를 들어 양성자-탄소 산란은 spin-orbit coupling에 의해서 비대칭적인 산란이 생기지만, 동일한 산란각 범위 $[\theta, \theta+d\theta]$의 산란단면적은 보존되기 때문에 이 산란각 범위 내에서 양성자가 검출될 확률은 비대칭성과 상관없이 변하지 않는다. 실험에서 양성자가 왼쪽에서 발견되지 않았다면, 그만큼 오른쪽에서 발견될 확률이 커진다. 그렇다면 $S\equiv L+R$이라는 물리량을 보존된다고 보고, $L$과 $R$이 음의 상관관계를 보여야 하므로 오차 전파에 공분산 항을 넣어야 옳은 결과를 얻을 수 있는 것이 아닌가 하는 질문이 생긴다.

이항 분포 모델

이항 분포의 도입

입자에게 좌냐 우냐 (정치적인 의도 없음) 두 가지 선택지만 줘보자. 이 경우 산란 이벤트는 각각 독립적으로 발생하지만, 한 이벤트 내에서 왼쪽으로 갈지 오른쪽으로 갈지만 확률적으로 결정되고, 총 개수 $S=L+R$은 고정된 상수이다. 즉 $S$개의 입자 각각이 확률 $p$로 왼쪽, $(1-p)$로 오른쪽에 검출된다고 하면

이며, 확률변수 $L$이 정해지면 $R$은 $R=S-L$로 완전히 결정된다. 여기서 $p=\frac{1-\varepsilon}{2}$이다. 이항 분포의 평균, 분산, 표준편차는 고등학교 확통 교과서에도 잘 나와있다. 분산을 구해보면

이다. 공분산은? 여러 공식으로부터 여러가지 방법으로 얻을 수 있는데, $\text{Var}( X + Y )=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$를 써보면

임을 알 수 있다. 공분산 결과로부터 $L$과 $R$이 완전한 음의 상관관계($r=-1$)인 것도 확인 가능하다. ($R=S-L$이므로 당연)

오차 전파 재계산

이제 공분산 항을 포함한 새로운 오차 전파식

을 사용하여 다시 비대칭도의 오차를 계산해보자. 대입하여 정리하면

이다. ??? 왜 독립 푸아송 때랑 결과가 같은지? 혹시 몰라서 $\varepsilon = \frac{\sqrt{L_\mathrm{U} \cdot R_\mathrm{D}} – \sqrt{R_\mathrm{U} \cdot L_\mathrm{D}}}{\sqrt{L_\mathrm{U} \cdot R_\mathrm{D}} + \sqrt{R_\mathrm{U} \cdot L_\mathrm{D}}}$로 정의되는 교차비 비대칭성cross-ratio asymmetry으로도 확인해봤는데, 역시 $d\varepsilon$ 계산 결과가 같았다.

왜 같은 결과가 나오는가?

분산은 푸아송 때($\text{Var}(L)=L$)보다 이항 분포 때($\text{Var}(L)=L\cdot \frac{R}{L+R} <L$)가 확실히 작아졌다. 그렇다면 공분산 항이 “이항 분포 해석”에서 오차를 더 키워서 분산이 작아진 효과를 정확히 상쇄했다는 뜻이다. 이에 대해 Claude의 의견을 물었는데, 이런저런 이유를 나열했으나 그중 그나마 납득이 가는 것은 $\varepsilon$의 정의가 $L$, $R$을 같은 비율로 스케일해도 값이 변하지 않는 0차 동차함수라서 $S=L+R$ 방향으로 전체가 같이 늘거나 주는 변동이 $\varepsilon$에 미치는 영향을 구조적으로 억제하기 때문이라고 한다는데… 완전히 이해하지는 못했다.

결론

비대칭도의 좌/우 입자 개수를 독립 푸아송으로 해석하든, 이항 분포로 해석하든 오차 전파는 동일한 결과가 나온다. 다만, 개별 $L$, $R$의 오차($dL$, $dR$)를 별도로 사용하는 계산을 하는 경우에는 $dL=dR=\sqrt{LR/(L+R)}$를 쓰는 것이 맞아 보이고 상관계수 $-1$을 고려해야 할 것 같다.